Chuyên mục: Giải tích 1 - Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng

(*)

Chứng minh các bất đẳng thức sau

\(x\ln x + y\ln y \ge \left( {x + y} \right)\ln \frac{{x + y}}{2},\forall x,y > 0\)

Chứng minh các bất đẳng thức sau

\(\tan \frac{{x + y}}{2} \le \frac{{\tan x + \tan y}}{2},\forall x,y \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)\)

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm lồi trên đoạn \(\left[ {a,b} \right]\), chứng minh rằng \(\forall c \in \left( {a,b} \right)\) ta có

\(\frac{{f\left( c \right) – f\left( a \right)}}{{c – a}} \le \frac{{f\left( b \right) – f\left( a \right)}}{{b – a}} \le \frac{{f\left( b \right) – f\left( c \right)}}{{b – c}}\).

Tìm miền giá trị của các hàm số \[y = \arctan ({e^x})\]